FUNCIÓN RACIONAL
DOMINIO DE DEFINICION DE UNA FUNCION RACIONAL
ASINTOTAS HORIZONTALES
ASINTOTAS VERTICALES
CRITERIOS DE EXISTENCIA DE LAS ASINTOTAS HORIZONTALES Y OBLICUAS
FUNCIÓN RACIONAL
Las funciones racionales son del tipo:
El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.
Ejemplo
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
.
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones
Construcción de hipérbolas
Las hipérbolas
son las más sencillas de representar.Sus asítontas son los ejes
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical
El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.
El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0,
se desplaza hacia arriba a unidades.El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0,
se desplaza hacia abajo a unidades.El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0,
se desplaza a la izquierda b unidades.El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b<0,
se desplaza a la derecha b unidades.El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.
El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN RACIONAL
Dominio
En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R(conjunto de los números reales) o bien que su dominio de definición es R.
Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función.
Si la función es la que a cada alumno/a de 4ºA le asocia la nota del examen que hizo el día 14 de Diciembre, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de 4ºA que hicieron ese citado examen.
Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).
1.Obtención del dominio de definición a partir de la gráfica.
Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición. Ésto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica; y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio.
En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo del eje para que sea bien visible la escala del eje de abscisas).
En este caso tenemos que Dom f = (-
, 2) U (2, 7]
De una manera vulgar, podríamos decir que si aplastámos la gráfica sobre el eje Ox y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f.
2.Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas. Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:
FUNCIONES RACIONALES:
Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1, x2,..., xn. Por ejemplo:
I)
Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3 y x2 = -3.
Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}
II)
Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.
Por lo tanto D(f) = R.
Asíntota vertical.
Una recta
es una asíntota vertical de una función si
%3D%5Cpm%5Cinfty&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*)
o %3D%5Cpm%5Cinfty&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*)
Observa la gráfica de la función f(x), en x=1 presenta una asíntota vertical, ya que la función se aproxima cada vez más a la recta vertical x=1 cuando x tiende a 1.
En el caso de funciones elementales, son candiatos a asíntotas verticales aquellos puntos aislados que no forman parte del dominio, esto no quiere decir que no haya una asíntota vertical en un punto que pertenezca al dominio de la función.
La función%3D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx-2%7D%5C%3B%5C%3B%5C%3Bsi%5C%3Bx%253C2%5C%5Cx-1%5C%3B%5C%3B%5C%3Bsi%5C%3Bx%5Cge2&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*)
tiene una asíntota vertical en x=2, aunque existe f(2).
La determinanción de las asíntotas verticales es importante para el estudio global de una función pues permite observar el comportamento su comportamiento cuando toma valores muy próximos a la asíntota.
Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas
Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.
Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Halla las asíntotas verticales de la función =\frac{x+1}{x^2-5x+6})
Estamos ante una función racional, los puntos candidatos a ser asíntotas son aquellos que anulen el denominador.
(x-3)=0\;\Leftrightarrow\;x=2\;o\;x=3)
Estudiamos los límites laterales en esos puntos, basta con que uno de los límites laterales tienda a infinito para que exista la asíntota vertical.
(x-3)}=+\infty)
(x-3)}=-\infty\;\;\fs2\text{luego\;x\;=\;2\;es\;una\;as\acute{i}ntota\;vertical\;de}\;f)
(x-3)}=-\infty)
(x-3)}=+\infty\;\;\fs2\text{luego\;x\;=\;3\;es\;una\;as\acute{i}ntota\;vertical\;de}\;f)
Cuando una función se nos presenta a través de su gráfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha gráfica conseguimos el dominio de definición. Ésto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la gráfica; y éste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje Ox nos incluye ese valor dentro del dominio.
En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (está dibujado un poco más abajo del eje para que sea bien visible la escala del eje de abscisas).
En este caso tenemos que Dom f = (-
, 2) U (2, 7]De una manera vulgar, podríamos decir que si aplastámos la gráfica sobre el eje Ox y ésta estuviese manchada de tinta, quedaría manchado sobre el eje justo el dominio de definición de la función f.
2.Obtención del dominio de definición a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas. Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son:
FUNCIONES RACIONALES:
Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) = R\{x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definición de la función todos los números reales salvo x1, x2,..., xn. Por ejemplo:
I)
Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1 = +3 y x2 = -3.Por lo tanto D(f) = R \ {+3, -3}
II)
Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio.Por lo tanto D(f) = R.
ASINTOTAS HORIZONTALES
ASINTOTAS VERTICALES
Asíntota vertical.
Una recta
es una asíntota vertical de una función si o Observa la gráfica de la función f(x), en x=1 presenta una asíntota vertical, ya que la función se aproxima cada vez más a la recta vertical x=1 cuando x tiende a 1.
En el caso de funciones elementales, son candiatos a asíntotas verticales aquellos puntos aislados que no forman parte del dominio, esto no quiere decir que no haya una asíntota vertical en un punto que pertenezca al dominio de la función.
La función
tiene una asíntota vertical en x=2, aunque existe f(2).La determinanción de las asíntotas verticales es importante para el estudio global de una función pues permite observar el comportamento su comportamiento cuando toma valores muy próximos a la asíntota.
La asíntotas son rectas a las cuales se aproxima una función sin llegar a ellas.
3 + x D ={- 3 } x = - 3
2) Asíntota vertical es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula.
lim 1 1 = 1 = ∞
3 + x 3 - 3 0
x → -3
Ejemplos:
La asíntota horizontal es igual a 0
1) Dominio
f(x) = 1 3 + x = 0 3 + x D ={- 3 } x = - 3
2) Asíntota vertical es el valor que no pertenece al dominio de la función, pero tampoco la anula.
lim 1 1 = 1 = ∞
3 + x 3 - 3 0
x → -3
Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas
Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
EJERCICIOS
Representa las funciones racionales y determina su centro:
1f(x) = 6/x
x −6 −3 −2 −1 1 2 3 6
f(x) = 6/x −1 −2 −3 −6 6 3 2 1
2
f(x) = 6/x se desplaza hacia arriba 3 unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
3
f(x) = 6/x se desplaza hacia abajo 3 unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, −3)
4
f(x) = 6/x se desplaza hacia la izquierda 3 unidades.
El centro de la hipérbola es: (−3, 0)
5
f(x) = 6/x se desplaza hacia la derecha 3 unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
6
f(x) = 6/x se desplaza hacia la derecha 3 unidades y 4 hacia arriba.
El centro de la hipérbola es: (3, 4)
7
f(x) = 6/x se desplaza hacia la izquierda 1 unidad y 3 unidades hacia arriba.
El centro de la hipérbola es: (−1, 3)
x −6 −3 −2 −1 1 2 3 6
f(x) = 6/x −1 −2 −3 −6 6 3 2 1
2
f(x) = 6/x se desplaza hacia arriba 3 unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
3
f(x) = 6/x se desplaza hacia abajo 3 unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, −3)
4
f(x) = 6/x se desplaza hacia la izquierda 3 unidades.
El centro de la hipérbola es: (−3, 0)
5
f(x) = 6/x se desplaza hacia la derecha 3 unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
6
f(x) = 6/x se desplaza hacia la derecha 3 unidades y 4 hacia arriba.
El centro de la hipérbola es: (3, 4)
7
f(x) = 6/x se desplaza hacia la izquierda 1 unidad y 3 unidades hacia arriba.
El centro de la hipérbola es: (−1, 3)
Estamos ante una función racional, los puntos candidatos a ser asíntotas son aquellos que anulen el denominador.
Estudiamos los límites laterales en esos puntos, basta con que uno de los límites laterales tienda a infinito para que exista la asíntota vertical.
