BLOQUE 3

FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO CERO, UNO Y DOS

MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES
FORMA POLINOMIAL DE FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS
REPRECENTACION GRAFICA DE FUNCIONES DE GRADOS: CERO UNO Y DOS
CARACTERISTICAS DE LAS FUNCIONES DE GRADO: CERO, UNO Y DOS
PARAMETROS DE LAS FUNCIONES DE GRADOS: CERO, UNO Y DOS

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

donde  es un polinomio definido para todo número real ; es decir, una suma finita de potencias de  multiplicados por coeficientes reales, de la forma:¹

Algunas funciones polinómicas reciben un nombre especial según el grado del polinomio:

Grado	Nombre	Expresión
0	función constante	y = a
1	función lineal	y = ax + b es un binomio del primer grado
2	función cuadrática	y = ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado
3	función cúbica	y = ax³ + bx² + cx + d es un cuatrinomio de tercer grado

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado cero

La gráfica de una función polinomial de grado 0, que es de la forma f(x) = a es una recta horizontal.

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado uno

La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece  de forma oblicua.

y = m x + b

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 2

Las funciones polinómicas de grado 2 son del tipo , con . Sus representaciones gráficas son las famosas parábolas. Hay dos posibles representaciones que dependen del signo de . Son éstas:

Representación gráfica de funciones polinómicas de grado 3

Las funciones polinómicas de grado 3 son del tipo , con . Hay cuatro posibles representaciones gráfica de este tipo de funciones que dependen del signo de  y de la relación entre  y . Por tanto, para poder representarlas debemos tener en cuenta sus coeficientes. Os dejo una tabla con las cuatro gráficas posibles:

Características de las funciones polinómicas de grados: cero, uno y dos. El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el  polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se  muestra en las siguientes funciones: Es de grado cero, se le conoce como función constante.  Es de grado uno, también conocida como función lineal.  Es de grado dos, se le conoce como función cuadrática. Parámetros de las funciones de grado: cero, uno y dos. -La función constante.  La función de grado cero es la que se conoce como  función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició  con ella en el primer bloque; su forma es:   f(x)= a, donde “a” es una constante Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a) -La función lineal.  La ecuación lineal en su forma pendiente-ordenada en el origen  es: y=mx+b Donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen. Vista como una función se representa de la siguiente manera: f(x) = mx+b -La función cuadrática.  Las funciones cuadráticas se caracterizan por su grado 2,  éstas se expresan en su forma general como f(x)= ax^2+bx+c ,con la  condición de que su coeficiente principal es diferente de cero (a ≠ 0)   La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que  aparezcan en ellas. Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando  carecen de alguno. Si no tiene el término lineal se denominan puras, y si no  aparece el término independiente se conocen como mixtas. 

Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.

Ejemplos de funciones polinómicas son:

 , la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.

, que es una función polinómica de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

, que es de grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el 6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las intersecciones con los ejes y la factorización de la función polinomial tienen una estrecha relación.

La gráfica de las funciones polinómicas depende del grado de la función. Las funciones polinómicas de ciertos grados tienen ciertas alternativas de gráfica. Queda a este curso de derivadas averiguar algunas de las características de las funciones para poder predecir su comportamiento.

Muchas veces a partir de la gráfica de un polinomio se puede deducir la ecuación de la función. Ésto se puede hacer a partir de las intersecciones con los ejes. (Conste que comenté, que muchas veces, NO SIEMPRE).

Una función polinómica con el más alto número de intersecciones con el eje "x" permisible, es aquella que se puede determinar su gráfica y su ecuación.

Una función de, por ejemplo, tercer grado puede tener como máximo 3 intersecciones con el eje "x".

Una función de sexto grado puede tener como máximo 6 intersecciones con el eje "x".

Cabe aclarar, que las funciones polinómicas, aunque no conozcamos ahora los términos específcos, son funciones continuas,sin asíntotas verticales, ni horizontales, que según el grado pueden presentar máximos, mínimos y puntos de inflexión.

Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.

ejercicios: 

1.-

, la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.

, que es una función polinómica de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

, que es de grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el 6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las intersecciones con los ejes y la factorización de la función polinomial tienen una estrecha relación.

Suponiendo que la función que se nos presenta es de tercer grado, y sus intersecciones están en x = 2, x = -1 y en x = -3; la ecuación de la función es f(x) = (x-2)(x+1)(x+3)

Debe quedar claro, que se tiene que conocer el grado de la función polinómica, ya que sin éste, las conclusiones que se puedan sacar pueden estas equivocadas.

Tenemos una función polinómica de grado 6, que sus intersecciones se encuentran en

 x = 1, x = 2, x = -1, x = 3, x = -2 y en x = 0; por lo tanto la función es:

f(x) = (x-1)(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)(x)

Características de funciones polinomiales grado cero, uno y dos 

El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra en las siguientes funciones: 

1. f x = 7 Es de grado cero, se le conoce como función constante.

2. f x = 4x-1 Es de grado uno, también conocida como función lineal.

3. f x  =x2 +5x+6 Es de grado dos, se le conoce como función cuadrática.

4. f x  =4x2 +5x3 +1 Es de grado tres y se le conoce como función cúbica.

5. f z  =4x4 +3x3 +2x2+1Es de grado cuatro y se le conoce como función cuartica. 

Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos 

La función constante, La función de grado cero es la que se conoce como función constante, ésta es un caso particular de la función Polinomial y se inició con ella en el primer bloque; su forma es: 

�� �� = ��, donde “a” es una constante 

Su gráfica es una recta paralela al eje X y corta al eje Y en el punto (0, a).