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    FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO TRES Y CUATRO

funciones polinomiales de grado 3

Una función cúbica es una función polinómica de grado 3. Las funciones cúbicas tienen expresiones del tipo:
                             
Estamos interesados en estudiar la derivada de funciones simples con un punto de vista intuitivo y visual. Para estudiar la derivada de una función cúbica vamos a seguir la misma aproximación que hemos usado para el caso de las funciones cuadráticas.




EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función en un punto puede definirse como la tasa de variación instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos definir la pendiente de la función en un punto como la pendiente de la recta tangente.

La pendiente de la tangente depende, en general, de x. Entonces, a partir de una función podemos definir una nueva función, la función derivada de la función original.

El proceso de encontrar la función derivada de una función se llama diferenciación.

El valor de la función dericada para cada valor de x es la pendiente de la función original en x.


Para representar la derivada en un punto podemos dibujar la recta tangente a la gráfica de una función cúbica en ese punto:

Pero, ¿cómo podemos dibujar la tangente? Podemos usar una lupa. Si miramos muy cerca el punto en la gráfica de la función podemos ver cómo la recta tangente es muy semejante a la función. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función en ese punto:

Entonces podemos dibujar una recta paralela a esta tangente a través del valor x-1 y obtenemos un triángulo rectángulo:

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática.

Un punto crítico es un punto en el que la tangente es paralela al eje de abcisas (eje x). Es decir, que la pendiente de la recta tangente en ese punto es 0.

En el siguiente ejemplo podemos ver una función cúbica con dos puntos críticos. Uno es un máximo local y el otro es un mínimo local. En estos puntos, la función derivada (una parábola) corta al eje x:

Estos puntos críticos son puntos en los que la función deja de crecer o decrecer (también se les llama puntos estacionarios). En estos puntos, la recta tangente es horizontal.

Para encontrar los puntos estacionarios podemos resolver la ecuación cuadrática


Como ya sabemos (funciones cuadráticas), algunas ecuaciones cuadráticas no tienen soluciones reales (la parábola no corta al eje de las x). En estos casos la función cúbica no tiene puntos críticos:

Pero una parábola siempre tiene un vértice. El vértice de la parábola está relacionado con un punto de la función cúbica. Llamamos a este punto un punto de inflexión.

Un punto de inflexión de una función cúbica es el único punto de la gráfica en el que cambia la concavidad.

La curva cambia de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo, o viceversa.

La recta tangente a una función cúbica en el punto de inflexión cruza la gráfica:

Para calcular el punto de inflexión podemos calcular el vértice de la parábola

Este es un ejemplo de un punto de inflexión de una función cúbica que no tiene puntos críticos

El punto de inflexión en el siguiente ejemplo es también un punto estacionario (observamos que el vértice de la derivada toca al eje de abcisas).

Un punto de inflexión puede ser un punto estacionario, pero no es un máximo o mínimo local.

Una idea simple e interesante es que cuando trasladamos arriba y abajo el gráfico de la función (sumamos o restamos un número a la función original) la función derivada no cambia. La razón es muy intuitiva y podemos jugar con la siguiente versión del mathlet para ver esta propiedad. Cuando movemos el punto violeta trasladamos verticalmente la función y la función derivada no cambia

funciones polinomiales de grado 4

                                                 

Después de ver las funciones afines, cuadráticas y cubicas, ahora podemos estudiar funciones polinómicas de mayor grado.

Un modo interesante de general funciones polinómicas es usar los polinomios de interpolación de Lagrange. Dados n puntos en el plano, el polinomio de interpolación de Lagrange es el polinomio de grado igual (o menor) que (n-1) que pasa por esos n puntos.

Nuestro propósito es comprender mejor el comportamiento de diferentes funciones polinómicas y sus derivadas.


EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función en un punto puede definirse como la tasa de variación instantánea o como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Podemos definir la pendiente de la función en un punto como la pendiente de la recta tangente.

La pendiente de la tangente depende, en general, de x. Entonces, a partir de una función podemos definir una nueva función, la función derivada de la función original.

El proceso de encontrar la función derivada de una función se llama diferenciación.

El valor de la función dericada para cada valor de x es la pendiente de la función original en x.


Podemos repasar varios conceptos que ya hemos visto. Por ejemplo, la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente en cada punto:


Pero, ¿cómo podemos dibujar la tangente? Podemos usar una lupa.

Si miramos muy cerca el punto en la gráfica de la función podemos ver cómo la recta tangente es muy semejante a la función. La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la función en ese punto:


Hay una relación entre la derivada y el caracter creciente o decreciente de una función (polinómica). Si la derivada es positiva en algún intervalo entonces la función es creciente en ese intervalo y si la derivada es negativa en algún intervalo entonces la función es decreciente en ese intervalo:


Un punto estacionario es un punto en el que la derivada se hace cero (la pendiente de la tangente es cero, la tangente es una recta horizontal). En esos puntos la función deja de crecer o decrecer. En el caso de las funciones polinómicas los puntos estacionarios son los mismos que los puntos críticos.

En un punto estacionario la función puede cambiar de creciente a decreciente. Entonces ese punto estacionario es un máximo local (o máximo relativo). La derivada cambia de positiva a negativa.


En otros casos, en un punto estacionario la función puede cambiar de decreciente a creciente. Entonces el punto estacionario es un mínimo local (o mínimo relativo). La derivada cambia de negativa a positiva.

Hay puntos estacionarios que no son máximos ni mínimos. Son puntos e inflexión, es decir, puntos en los que cambia el signo de la curvatura.


Los puntos de inflexión están relacionados con los máximos o mínimos locales de la función derivada. En estos puntos la tangente corta a la curva, la cruza.


Una idea simple e interesante es que cuando trasladamos arriba y abajo el gráfico de la función (sumamos o restamos un número a la función original) la función derivada no cambia. La razón es muy intuitiva.

Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas x):

(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),....,(xn, yn).

Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación.

Vamos a ver una forma de la solución que es el llamado polinomio de interpolación de Lagrange. (Lagrange publicó su fórmula en 1795 pero ya había sido publicada en 1779 por Waring y redescubierta por Euler en 1783).

La fórmula general para el polinomio de interpolación de Lagrange es


Donde usamos polinomios básicos de Lagrange:


Expandiendo el producto para verlo mejor:


Estos polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad:


Entonces es muy fácil comprobar que estos polinomios pasan por todos los n+1 puntos dados (es decir, es un polinomio de interpolación)


El grado del polinomio de interpolación de Lagrange es igual o menor que n. Es el menor grado posible. El polinomio encontrado es único. Hay otras maneras de calcular este polinomio (con sus ventajas e inconvenientes). La forma de Lagrange es sencilla y se comprueba con facilidad que es un polinomio de interpolación y su grado. Pero para conocer los coeficientes del polinomio hay que simplificar los términos. Otra característica de esta forma de encontrar el polinomio es que si añadimos o quitamos puntos hay que recalcularlo otra vez.

Vamos a ver algunos ejemplos. El más sencillo es una recta. Dados dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) hay exactamente una recta que pasa por esos dos puntos:



Dados tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), con coordenadas x diferentes, o bien los tres puntos están en una recta o hay un polinomio de segundo grado (una parábola) que pasa por esos tres puntos. En cualquier caso, hay un polinomio de grado como mucho 2 que pasa por esos tres puntos.



Si tenemos 4 puntos, podemos encontrar un polinomio de grado 3 (o quizás una parábola o una línea recta en algunos casos) que pasa por esos 4 puntos:


Un función polinómica de grado 4 pasa a través de 5 puntos:


Usaremos los polinomios de interpolación de Lagrange para construir aplicaciones interactivas relacionadas con funciones polinómicas, sus derivadas e integrales.






Métodos de solución de ecuaciones factorizables a una función polinomial


Para identificar las aplicaciones una función polinomial de grado tres, presentamos una situación común de construcción.

Se tiene una hoja cuadrada de cartón de72 cm de lado y quieres construir una caja para sus cosas recortando un cuadrado de cada esquina. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea el máximo?
En esta situación se dispone de la lámina completa en la que se puede recortar un cuadrado de lado “x”. al cortar cada esquina y doblar las partes restantes para obtener la caja de base cuadrada cuyas dimensiones son, en la base, 72 – 2x centímetros de lado y una altura de x centímetros.

El volumen de cualquier caja se obtiene como el producto de cada una de sus aristas, para este caso:
V= (72-2x)² x y desarrollando y simplificando se obtiene:
V = 4x³ – 288x² + 5 184x
Esta expresión algebraica determina el volumen máximo, pero necesitamos saber cuánto hay que recortar para que así sea. Pero si encontramos las raíces de esta función obtenernos el valor para que sea cero la función y no el valor de x para un mayor volumen. Al realizar un tabla de valores para x y y, encontraremos que hay un máximo volumen en 12 centímetros.




Representación grafica de una funciones polinomiales grado tres y cuatro


f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 - 1, 2 y 3 f(x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)
f(x)= x4 - 5 x2 + 4 - 2, - 1, 1 y 2 f(x) = (x + 1) (x + 2) (x - 1) (x - 2)







Función polinomial de grado 1,2,3,4 y Representación gráfica



GRADO 1 tiene en su variable equis el exponente uno.La forma de esta función de grado uno es la ecuación de la línea recta, que tiene su gráfica como aparece de forma oblicua.
y = m x + b



GRADO 2 se denomina función cuadrática a toda función de la forma:
Y = ax2+ bx+ c que representa a una expresión cuadrática, donde a (distinto de 0), b y c son números reales.
Su gráfica es una parábola.


GRADO 3 Se denomina función cúbica a toda función de la forma:
y= ax3 + bx2 + cx+ d; donde a (distinto de 0), b, c y d son números reales.







GRADO 4 Es la función de fórmula: y = ax4+ bx3+ cx2+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.