CEROS Y RAÍCES DE LA FUNCIÓN
TEOREMAS DEL FACTOR Y DEL RESIDUO
DIVISIÓN SINTÉTICA
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
TEOREMA DE FACTORIZACION LINEAL
GRÁFICAS DE FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES
Ceros y raíces de la función
Llamamos ceros o raíces de una función f a los valores de x para los cuales se cumple que f(x)=0. Los ceros de una función son las abscisas de los puntos en los cuales su gráfica tiene contacto con el eje de las x.
Raíces
Las raíces ( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:
Ejercicio 1:
función polinómica:
f(x) = 2x3 + 7x2 - 7x - 12
Y nos piden hallar los ceros. Los ceros o raíces de una función son las "x" para las cuales la "y" (ó f(x)) vale cero. Es decir: son los números a los cuales, si le aplicas la función, el resultado dá cero. Se pueden hallar "igualando a cero" la fórmula de la función, que es lo mismo que "reemplazar por cero" a la "y" o a f(x) de la fórmula:
2x3 + 7x2 - 7x - 12 = 0
Ejercicio 2:
f(x) = x2 + x - 12
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2
Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12
Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3
Teoremas del factor y del residuo
Algoritmo de la división. Para cada polinomio de grado mayor o igual a uno y para cada número , existe un polinomio único de un grado menor que el de y un número único R, tal que:
.
Al polinomio se le denomina cociente, en el divisor y R es el residuo.
Teorema del residuo. Si es el residuo de dividir el polinomio entre , entonces .
Demostración.
Como por el algoritmo de la división, se tiene que si , .
O sea, .
Ejemplo 1:
Hállese el residuo de dividir el polinomio entre .
se puede escribir como , por tanto .
.
.
O sea que el residuo es 2.
Teorema del factor. Si es un cero del polinomio , entonces es un factor de .
Demostración.
Si es un cero de , .
Pero por el algoritmo de la división .
Como , .
Por tanto, y .
Ejemplo 2:
Use el teorema del factor para probar que es un factor de .
, así .
.
Luego –1 es un cero de .
Así es un factor de .
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo de grado , la ecuación tiene exactamente soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente: El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas. Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma . El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja). Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra. TEOREMA DE FACTORIZACIÓN LINEAL. Si f(x) es un polinomio de grado n, con n > 0, entonces f(x) tiene precisamente n factoreslineales, es decir: f(x) = a(x – c 1)(x – c 2)….(x – c n), en donde c 1, c 2,…..cn son números complejos y a es el coeficiente principal de f(x) |
genial, justo lo que necesito para mi resumen de matematicas
ResponderEliminarImpresionante yo igual lo necesito para mi resumen todo eso lo voy a exponer gracias.....
ResponderEliminargracias mi cuestionario esta completo
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