BLOQUE 2

FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS

-FUNCIÓN INVERSA
-FUNCIÓN ESCALONADA
-FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
-FUNCIÓN IDENTIDAD
-FUNCIÓN CONSTANTE




FUNCIÓN INVERSA
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.



Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f −1) (x) = (f −1 o f) (x) = x

Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.



Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, .
Cálculo de la función inversa

1 Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2 Se despeja la variable x en función de la variable y.

 3 Se intercambian las variables.

Calcular la función inversa de:











Vamos a comprobar el resultado para x = 2







EJEMPLOS

No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f ,(y)  proviene de un único valor del dominio (x)

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y=x

FUNCIÓN ESCALONADA

Se denomina así la función de ecuación f(x)=E[x], que a cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que él.
El hacer corresponder a cada número el entero inmediatamente inferior, origina una gráfica escalonada.

Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en R, f:[a,b] ¾® R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición.

EJEMPLOS

f(x): E (x)

x	0	0.5	0.9	1	1.5	1.9	2
f(x) = E(x)	0	0	0	1	1	1	1

                                                     

F(x): E (X/2) 

x	0	1	1.9	2	3	3.9	4
f(x) = E(x/2)	0	0	0	1	1	1	2

           

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia.

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.
En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.
Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).
2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.

EJEMPLOS:

                                                  

                             

                                               

   f(x) = |x - 2|

  f(x) = |x² -4x + 3|

FUNCIÓN IDENTIDAD:

Su funcion Basica es F(x)=X Su nombre probiene del hecho, que el valor del dominio (X),sera el mismo o identico valor que el contradominio (Y)con esta condiccion es una funcion unica.

*Funcion Continua
*Dominio del (-) infinito hASTA (+) infinito.
*Es de primer grado ( Linea Recta )
*Tiene pendiente, 1 creciente
*Su angulo de inclinacion es de 45 grados
*Debe pasar por el origen
*A la vez es biyectiva, Inyectiva
                              

                                   

                               

FUNCIÓN CONSTANTE:

La función constante es del tipo: y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Rectas verticales

Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:

x = K

Y= 3/4

                                              

Y=2

X=-5